Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

Convectie, straling, geleiding.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Buitenoppervlak: 7.89x10^-3 m^2
Warmtecapaciteit: 26,92 J/K voor deze buis
Omgevingstemperatuur: 21.6 graden C

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Solution to Exercise 6

De richting zal invloed hebben op hoe het oppervlak de warmte uitstraalt, bij een horizontale richting zal er makkelijker warmteverlies vanaf de binnenkant plaatsvinden, waardoor de karakteristieke tijd lager zal zijn. Wanneer er een dop op de buis zit, wordt de warmtestroom vanaf de binnenkant beter geblokkeerd en is het systeem dus beter geïsoleerd, wat een hogere karakteristieke tijd zou moeten opleveren en een kleinere warmteoverdrachtscoëfficient. ``

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Partner bij dit practicum: Korné Hoendervangers
# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import pandas as pd

#buis met dop
df = pd.read_csv("koelbuis.csv",delimiter=',')
Tijd = df["Tijd_dop"].to_numpy()
Temps = df["Temp_dop"].to_numpy()

#definieren functie en waardes
def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.01531 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 26.925 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, Tijd, Temps, p0=[20, 100, 20], maxfev=10000)
A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(Tijd, *popt)
plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(Tijd, Temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(Tijd, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)


h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('De warmteoverdrachtscoëfficiënt met dop is gelijk aan', h_exp, 'W/m^2 K') # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

De warmteoverdrachtscoëfficiënt met dop is gelijk aan 19.8323921670369 W/m^2 K

Tijd2 = df["Tijd"].to_numpy()
Temps2 = df["Temperatuur"].to_numpy()
Tijd2 = Tijd2[:60]
Temps2 = Temps2[:60]

def exp_func2(t, A, tau, T_omg):
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

popt2, pocv2 = curve_fit(exp_func2, Tijd2, Temps2, p0=[20, 100, 22.4], maxfev=10000)
A_exp2, tau_exp2, T_omg_exp2 = popt2

y_fit2 = exp_func2(Tijd2, *popt2)

plt.figure()
plt.plot(Tijd2,Temps2,'k.')
plt.plot(Tijd2,y_fit2,'g--',
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp2, tau_exp2, T_omg_exp2))
plt.legend()
plt.show()

h_exp2 = (warmtecapaciteit) / (tau_exp2 * buitenoppervlak)
 
print('De warmteoverdrachtscoëfficiënt zonder dop is gelijk aan', h_exp2, 'W/m^2 K') # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

De warmteoverdrachtscoëfficiënt zonder dop is gelijk aan 15.667504516277194 W/m^2 K

Discussie en conclusie¶

Discussie¶

Bij de proef met de dop op de buis is de warmteoverdrachtscoëffciënt gelijk aan 19.8 W/m^2 K. Bij de proef met de buis zonder dop is het gelijk aan 15.7 W/m^2 K. Dit is bijzonder, want volgens verwachtingen zou de warmteoverdrachtscoëfficiënt lager moeten zijn wanneer de buis een dop heeft, dus meer geïsoleerd is. Deze fouten zouden veroorzaakt kunnen zijn doordat de temperatuur op één specifiek punt werd gemeten, en dus niet de temperatuur over de gehele binnenkant van de buis gebruikt is. Daarnaast was het ook moeilijk om op tijd de temperatuur af te lezen, aangezien er in korte intervallen gemeten werd. Deze punten kunnen zorgen voor onnauwkeurigheden in de meting. Een andere theorie voor de fout in de waardes is dat de fit niet exact klopt omdat er veel variabelen gefit worden. De bepaalde omgevingstemperatuur is te hoog, bij beide rond de 26 graden Celsius, terwijl deze in het echt 21.7 graden Celsius was. Een foute fit geeft een verkeerde waarde van tau, waardoor de warmteoverdrachtscoëfficiënt ook verkeerd berekend wordt.

Conclusie¶

Dit experiment is uitgevoerd met het doel om de karakteristieke tijd tau te bepalen waarin de temperatuur van een buis afneemt, en hiermee de warmteoverdrachtscoëfficiënt te bepalen. Hiervoor werd een aluminium buis met een buitenoppervlakte van 7.89x10^-3 m^2 en een warmtecapaciteit van 26,92 J/K opgewarmd in warm water, waarna het werd geplaatst in een grijparm en de temperatuur werd gemeten als functie van de tijd. De proef werd twee keer uitgevoerd, eerst met de dop op de buis en daarna zonder. Voor de buis met dop is een tau gevonden van 88.7 seconden en een warmteoverdrachtscoëfficient van 19.8 W/m^2 K. Voor de buis zonder dop is een tau gevonden van 112 seconden en een warmteoverdrachtscoëfficient van 15.7 W/m^2 K. Deze resultaten zijn problematisch, aangezien het onrealistisch is dat het warmteoverdrachtscoëfficiënt bij een buis met dop hoger is dan een buis zonder dop. Dit zou veroorzaakt kunnen zijn door onnauwkeurigheid in de metingen door onnauwkeurige aflezingen en door niet de temperatuur over de gehele buis te nemen, en door fouten in de fit door teveel variabelen. In een vervolgonderzoek zouden er meer metingen gedaan kunnen worden waarbij de thermometer verplaatst wordt over de buis, en het gemiddelde genomen van de verschillende metingen.